Método de la bisección
El método de bisección, también conocido como corte binario, de participación de intervalos o de Bolzano, es una técnica de búsqueda incremental que consiste en dividir un intervalo sucesivamente a la mitad.
Su funcionamiento se basa en la evaluación del valor de la función en el punto medio del intervalo. Si la función cambia de signo en dicho punto, se determina que la raíz se encuentra en uno de los subintervalos resultantes. El proceso se repite en el subintervalo que contiene el cambio de signo, dividiéndolo nuevamente a la mitad y evaluando la función en el nuevo punto medio.
Este proceso iterativo se continúa hasta que se alcanza la precisión deseada en la aproximación a la raíz.
Las principales ventajas del método de bisección son:
- Simpleza y facilidad de comprensión.
- No requiere información adicional sobre la función a evaluar.
- Convergencia garantizada en la mayoría de los casos.
Sin embargo, también presenta algunas desventajas:
- Convergencia lenta en algunos casos.
- Precisión limitada en comparación con otros métodos numéricos.
- No es aplicable para la búsqueda de raíces complejas.
En este ejemplo vamos a obtener las posibles raíces de la función siguiente :
Para poder resolverlo se usará el bloque de código siguiente :
Autor : Marco Polo Jácome Toss
Fecha de creación : 29 de Agosto del 2021
Licencia : GNU General Public License (GPL) 3.0
Plataforma : Scilab, Método de la Bisección
La siguiente función es el método de la bisección.
// fun = function handle
// x = Intervalo de una posible raíz
// tol = Máxima tolerancia
// maxit = Máximo número de iteraciones
// Root: Raíz
clear;
format("v",8)
clc
clear
function [root] = Bisection(fun,x,tol,maxit)
if fun(x(1)) > 0 then
xu = x(1); xl = x(2);
else
xu = x(2); xl = x(1);
end
Ea = 1;
iter = 1;
while(1)
xr(iter) = (xl(iter) + xu(iter)) / 2;
if fun(xr(iter)) > 0 then
xu(iter+1) = xr(iter);
xl(iter+1) = xl(iter);
elseif fun(xr(iter)) < 0 then
xl(iter+1) = xr(iter);
xu(iter+1) = xu(iter);
else
break
end
if iter>1 then
Ea(iter) = 100 * abs((xr(iter) - xr(iter-1)) / xr(iter));
end
disp([iter xr(iter) Ea(iter) xu(iter+1) xl(iter)])
if Ea(iter) < tol | iter == maxit then
break
end
iter = iter + 1;
end
root = xr(iter);
endfunction
La función de este ejemplo debe escribirse de la forma siguiente :
function f = fun1(x)
f = 3*x-(x*x)-(5*x*x*x*x*x)
endfunction
Las variables iniciales para la función son :
x = [-5 0];
tol = 1e-3;
maxit = 100;
root = Bisection(fun1,x,tol,maxit);
disp("Raíz = ", root)
//Segundo intervalo
x = [0.5 1];
tol = 1e-3;
maxit = 100;
root = Bisection(fun1,x,tol,maxit);
disp("Raíz = ", root)
Graficando la función
Graficando la función se puede observar dos raíces entre el intervalo -1 a 1.
Raíces de la función
La raíz en el intervalo de -5 a 0 es :
1. - 2.5 1.
2. - 1.25 100.
3. - 0.625 100.
4. - 0.9375 33.333333
5. - 1.09375 14.285714
6. - 1.015625 7.6923077
7. - 0.9765625 4.
8. - 0.9570313 2.0408163
9. - 0.9472656 1.0309278
10. - 0.9423828 0.5181347
11. - 0.9399414 0.2597403
12. - 0.9411621 0.1297017
13. - 0.9417725 0.0648088
14. - 0.9420776 0.0323939
15. - 0.9422302 0.0161943
16. - 0.9423065 0.0080965
17. - 0.9423447 0.0040481
18. - 0.9423256 0.0020241
19. - 0.9423161 0.0010121
20. - 0.9423113 0.0005060
root =
- 0.9423113
La posible raíz en el intervalo 0 a 1 es :
1. 0.55 1. 0.55 1.
2. 0.775 29.0323 0.775 1.
3. 0.8875 12.6761 0.775 1.
4. 0.83125 6.76692 0.775 0.8875
5. 0.80313 3.50195 0.80313 0.83125
6. 0.81719 1.72084 0.80313 0.83125
7. 0.81016 0.86789 0.81016 0.81719
8. 0.81367 0.43207 0.81016 0.81719
9. 0.81191 0.2165 0.81191 0.81367
10. 0.81279 0.10813 0.81279 0.81367
11. 0.81323 0.05404 0.81279 0.81367
12. 0.81301 0.02703 0.81301 0.81323
13. 0.81312 0.01351 0.81312 0.81323
14. 0.81318 0.00676 0.81318 0.81323
15. 0.8132 0.00338 0.8132 0.81323
16. 0.81322 0.00169 0.81322 0.81323
17. 0.81323 0.00084 0.81322 0.81323
--> disp("Raz = ", root)
"Raíz = "
0.81323
Métodos numéricos, Método de la Bisección para obtener raíces con Scilab por Marco Polo Jácome Toss se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
